Définition

Classe \(\mathcal C^1\)

Définition d'une fonction de classe \(\mathcal C^1\) :

• soit \(E,F\) des \({\Bbb R}\)-espaces vectoriels normés
• soit \(U\) un ouvert de \(E\)
• soit \(f:U\to F\)
• \(f\) est différentiable sur \(U\)
• \(df:U\to\mathcal L_C(E,F)\) est continue

$$\Huge\iff$$

• on dit que \(f\) est de classe \(\mathcal C^1\)

(Différentiabilité, Continuité (topologie))
[!Remark] Topologie
Sur \(\mathcal L_C(E,F)\), on considère la topologie de la norme subordonnée
[!Warning] Linéarité
\(df(a)\) est linéaire, mais pas forcément \(df\).

Classe \(\mathcal C^2\)

Définition d'une fonction de classe \(\mathcal C^2\) :

• soient \(E,F\) deux \({\Bbb R}\)-espaces vectoriels normés
• soit \(U\) un ouvert de \(E\) et \(f:U\to F\)
• \(f\) est deux fois différentiable sur \(U\)
• \(d^2f\) est continue

$$\Huge\iff$$

• \(f\) est dite de classe \(\mathcal C^2\) sur \(U\)

Classe \(C^k\)

Définition :
On dit que \(f\) est de classe \(\mathcal C^k\) si \(df\) est \(\\ C^{k-1}\) et \(f\) est continue (définition par récurrence)

Classe \(\mathcal C^\infty\)

Définition :
On dit que \(f\) est de classe \(\mathcal C^\infty\) si \(f\) est de classe \(\mathcal C^k\) pour tout \(k\geqslant0\)
Exemple :
Les applications linéaires et multilinéaires continues sont de classe \(\mathcal C^\infty\)

Propriétés

Caractérisation via les dérivées partielles

Caractérisation d'une fonction de classe \(\mathcal C^2\) :

• soient \(E,F\) deux \({\Bbb R}\)-espaces vectoriels normés
• soit \(U\) un ouvert de \(E\) et \(f:U\to F\)
• \(f\) admet des différentielles partielles secondes sur \(U\)
• ces différentielles secondes sont continues

$$\Huge\iff$$

• \(f\) est dite de classe \(\mathcal C^2\) sur \(U\)

Caractérisation des \(\mathcal C^k\)-difféomorphismes

Caractérisation des \(\mathcal C^k\)-difféomorphismes :

• on se place dans un espace de Banach
• \(f\) est \(\mathcal C^1\)-difféomorphisme (continue et d'inverse continu)
• \(f\) est de classe \(\mathcal C^k\)

$$\Huge\iff$$

• \(f\) est un \(\mathcal C^k\)-difféomorphisme

(Difféomorphisme)
[!Remarque]
Parfois, on ne parle pas de \(\mathcal C^k\)-difféomorphisme ni de \(\mathcal C^1\)-difféomorphisme, mais juste de difféomorphisme

Caractérisation des \(\mathcal C^k\) dans \({\Bbb R}^n\)

Proposition :
Soient \(F\) un espace vectoriel normé, \(U\) un ouvert de \({\Bbb R}^n\) et \(f:U\to F\)
Alors \(f\) est \(\mathcal C^k\) si et seulement si elle admet des dérivées partielles d'ordre \(k\) sur \(U\), qui sont continues sur \(U\)
(Dérivée partielle)